En España vuelve a debatirse un curioso problema matemático relacionado con la tradicional lotería navideña. Este año, un profesor de matemáticas de Madrid propuso a los participantes calcular la probabilidad de que, al sacar dos boletos al azar de una caja con una cantidad determinada de boletos, ambos tengan números pares. Las condiciones eran simples: en la caja hay entre 30 y 40 boletos, pero el número exacto se desconoce. Solo se sabe que la probabilidad de sacar dos números pares es exactamente un tercio. La pregunta era cuál es la probabilidad de que ambos boletos seleccionados tengan números impares.
Resolver este problema resultó no ser tan sencillo como podría parecer a primera vista. Para empezar, era necesario determinar cuántos boletos había en total en la caja y cuántos de ellos tenían números pares. El matemático representó el número total de boletos con la letra T y la cantidad de boletos pares con la letra N. El número de maneras de elegir dos boletos entre T es el producto de T por (T-1). De manera similar, las formas de elegir dos boletos pares son N por (N-1). La probabilidad de obtener dos boletos pares se calcula como la razón entre estos productos: N x (N-1) / (T x (T-1)).
A continuación, era necesario encontrar valores de T y N tales que esta relación fuera igual a un tercio y que T estuviera dentro del rango especificado. El matemático observó que el producto T x (T-1) debía ser divisible por tres para que el resultado fuera un número entero. Esto permitió descartar algunos valores de T que no cumplían este criterio. Después de analizar las posibilidades, se descubrió que el único valor adecuado era 36. Es decir, en la caja hay exactamente 36 boletos, de los cuales 21 tienen números pares y los otros 15, impares.
Verificación de probabilidades
Una vez determinado el número exacto de boletos, solo quedaba calcular la probabilidad de que ambos boletos extraídos tuvieran números impares. Para ello, se calcula el número de formas de elegir dos boletos impares: 15 x 14. El número total de maneras de elegir cualquier par de boletos es 36 x 35. Dividiendo uno por el otro obtenemos: (15 x 14) / (36 x 35) = 1/6. Así, la probabilidad de sacar dos boletos con números impares es de un sexto.
Curiosamente, si sumamos la probabilidad de sacar dos boletos pares (1/3) y la de sacar dos impares (1/6), el resultado es exactamente la mitad. Esto significa que la probabilidad restante (la otra 1/2) corresponde a los casos en que un boleto es par y el otro impar. Esta simetría en la distribución de probabilidades le da un atractivo matemático especial al problema.
Otras opciones
El matemático también analizó qué ocurriría si la cantidad de billetes no estuviera limitada al rango de 30 a 40. En ese caso, surgirían otras soluciones. Por ejemplo, si hay solo 3 billetes en la caja, de los cuales 2 son pares, la probabilidad de sacar dos pares sigue siendo un tercio, pero la probabilidad de sacar dos impares ya es nula. Si hay 10 billetes, y 6 de ellos son pares, la probabilidad de obtener dos pares es un tercio y la de dos impares es dos quinceavos. Con 133 billetes y 77 pares, la probabilidad de sacar dos pares es un tercio y la de dos impares es diez cincuenta y sieteavos.
Resulta que existen infinitos pares de números enteros positivos que cumplen estas condiciones. Están relacionados con la llamada ecuación de Pell, conocida en la teoría de números. No obstante, en el enunciado del problema se especificó el rango de 30 a 40 para acotar la búsqueda a una única solución.
Participación y premios
Este año, el problema despertó gran interés entre aficionados a las matemáticas y estudiantes. Muchos intentaron encontrar la respuesta tanto mediante pruebas directas como utilizando métodos matemáticos más complejos. Finalmente, varios participantes lograron dar con la solución correcta, entre ellos algunos lectores muy jóvenes.
Como muestra de agradecimiento, los organizadores decidieron premiar a tres jóvenes participantes que enviaron las respuestas correctas primero. Recibirán libros de la Real Sociedad Matemática Española. El autor del problema felicitó a todos con motivo de la Navidad y les deseó éxito en el nuevo año.
