Здравствуйте, уважаемый Viktor !

По порядку следования Ваших вопросов.
Вы: зять гражданин Италии, мы россияне. Поэтому какая процедура подходит именно нам?
Повторяю: 2) Если зять гражданин… Италии… то иммиграционная процедура называется Tarjeta de residencia de familiar de ciudadano de la Unión Europea

Описание на министерском сайте:
https://www.inclusion.gob.es/web/migraciones/w/tarjeta-de-residencia-de-familiar-de-ciudadano-de-la-union-europe-hi-102-

Как видите, доказывать наличие адекватного жилья тоже не требуется. Однако на практике обычно в качестве подтверждения экономической зависимости от зятьёв аренду жилья для воссоединяемых родителей оформляют на имя зятя как на плательщика до договору аренды независимо от того, кто фактически платит.

Вы: …у них 2-х комн., у нас студия, соответствует это нормам
Ответ: Бессмысленно говорить о номах, поскольку проверка соответствия в Вашем случае не проводится.

Вы: и нужна ли проверка на адекватность?
Ответ: Вы многократно перефразируете один и тот же вопрос. Ответ тот же: нет.

Вы: И что нужно прописка или контракт или то и другое?
Ответ: a) на практике обычно в качестве подтверждения экономической зависимости от зятьёв аренду жилья для воссоединяемых родителей оформляют на имя зятя как на плательщика до договору аренды независимо от того, кто фактически платит.
б) Прописка нужна, ибо она подтверждает место жительства. А Адрес места жительства такой же элемент идентификации личности, как и дата и место рождения рождения.

Вы: И если можно, чуть подробней о других необходимых документах?

Подскажите, с каким из необходимых документов Вам что-то непонятно или с каким у Вас есть сомнения в том, как Вы поняли требования.